Montrer qu'un point est milieu d'un segment

Soient $A,B,C$ trois points.

On définit les points $I$ et $J$ tels que :

• $I$ est le milieu du segment $[AB]$
• $2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{BC}$

Montrer que $J$ est le milieu de $[AC]$.

L'objectif est de montrer que $J$ est le milieu de $[AC]$. Cela peut se traduire, en utilisant l'une des caractérisation du milieu d'un segment, par :

$$ \overrightarrow{AJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC} $$

C'est donc ce que nous allons essayer de montrer ici.

La première étape consiste à traduire les éléments qui nous sont donnés dans l'énoncé :

$$I \text{ est le milieu de } [AB] \;\Leftrightarrow\; \overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} \quad (1)$$

$$2\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{BC} \;\Leftrightarrow\; \overrightarrow{IJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} \quad (2)$$

Nous avons maintenant tous les éléments pour construire notre démonstration.

D'après la relation de Chasles, on a :

$$ \overrightarrow{AJ} = \overrightarrow{AI} + \overrightarrow{IJ} $$

Puis on remplace les deux vecteurs par leurs expressions obtenus dans (1) et (2), et on obtient :

$$ \overrightarrow{AJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{BC} $$

On peut désormais factoriser l'expression par $\dfrac{1}{2}$ :

$$ \overrightarrow{AJ} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}) $$

Il ne reste plus qu'à utiliser une relation de Chasles pour obtenir :

$$ \overrightarrow{AJ} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$$

D'après la caractérisation du milieu d'un segment, on peut conclure que $J$ est le milieu du segment $[AC]$.