Mise en situation
Soient $\vec u,\vec v$ deux vecteurs.
On définit les vecteurs $\vec w$ et $\vec w’$ par :
$$\vec w = -3\vec u + 5\vec v$$
$$\vec w’ = \dfrac{1}{2} \vec u - \dfrac{5}{6} \vec v$$
Les vecteurs $\vec w$ et $\vec w’$ sont-ils colinéaires ?
Rappels sur la définition de colinéarité
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs.
On dit que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un réel non nul $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$.
Autrement dit, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'ils ont la même direction.
Correction de l’exercice
Le but de l’exercice est de vérifier si on peut trouver un réel $k$ tel que $\vec w = k \vec w’$.
Traduisons cela :
rche un réel $k$ tel que :
$$ \vec w = k\vec w’$$
$$ -3\vec u + 5\vec v = k(\dfrac{1}{2} \vec u - \dfrac{5}{6} \vec v)$$
$$ -3\vec u + 5\vec v = \dfrac{1}{2}k \vec u - \dfrac{5}{6}k \vec v$$
En identifiant les facteurs devants les vecteurs $\vec u$ et $\vec v$, on cherche donc un réel $k$ tel que :
$$\begin{cases}-3=\dfrac{1}{2}k\\5=-\dfrac{5}{6}k\end{cases}$$
On peut alors résoudre le système et regarder si les deux valeurs obtenus pour $k$ sont les mêmes : si c’est le cas, alors les vecteurs sont colinéaires, sinon, ils ne le sont pas.
On obtient :
$$\begin{cases} k=-6\\k=-6\end{cases}$$
Les valeurs de $k$ étant les mêmes, on peut alors écrire que :
$$\vec w = -6\vec w’$$
Ainsi, les vecteurs $\vec w$ et $\vec w’$ sont colinéaires.