Énoncé
Soit $A$ un point.
On définit les points $B,C$ et $D$ de la manière suivante :
$\overrightarrow{AB} = \vec u + 2\vec v$
$\overrightarrow{AC} = 2\vec u - 3\vec v$
$\overrightarrow{AD} = 3\vec u - \vec v$
Démontrer que le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme.
Rappels de cours
Règle du parallélogramme
Soient $A,B,C,D$ quatres points.
Le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{DC}$.
Relation de Chasles
Soient $A$, $C$ et $D$ trois points. On a :
$$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$$
Cette égalité vectorielle est appelée relation de Chasles.
Le cours complet est disponible ici
Explications
L'objectif final sera de montrer l'égalité $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{CD}$ (nous voulons montrer que $ABDC$ est un parallélogramme, donc l'égalité à démontrer n'est pas tout à fait la même que dans la propriété).
Nous disposons déjà d'une expression pour le vecteur $\overrightarrow{AB}$, mais pas pour le vecteur $\overrightarrow{CD}$ : nous allons donc exprimer $\overrightarrow{CD}$ en fonction de $\vec u$ et $\vec v$.
D'après la relation de Chasles, on a :
$$ \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AD} \quad (1)$$
De plus, par définition de $C$ :
$$ \overrightarrow{CA} = -\overrightarrow{AC} = -(2\vec u - 3\vec v) = -2\vec u + 3\vec v $$
et, par définition de $D$ :
$$\overrightarrow{AD} = 3\vec u - \vec v$$
En remplaçant $\overrightarrow{CA}$ et $\overrightarrow{AD}$ dans $(1)$, on obtient :
$$ \overrightarrow{CD} = -2\vec u + 3\vec v + 3\vec u - \vec v = \vec u + 2\vec v$$
Or $\overrightarrow{AB} = \vec u + 2\vec v$ donc $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AB}$.
D'après la règle du parallélogramme, le quadrilatère $ABDC$ est un parallélogramme.