Notion de vecteur
Translation
Une translation est une transformation du plan qui consiste à faire glisser une figure :
- dans une même direction;
- dans un même sens;
- et sur une même distance.
Tous les points de la figure sont alors déplacés de la même façon, et obtient donc une figure ayant la même forme et la même taille que la figure de départ.
Ici, on a appliqué la translation de direction $(FG)$, de sens "$F$ vers $G$" et de longueur $FG$ au polygone $ABCDE$.
On obtient alors le polygone $A'B'C'D'E'$ dont les sommets correspondent aux images des points respectifs par la translation décrite ci-dessus.
Il est essentiel de ne pas confondre direction et sens :
- La droite $(AB)$ est une direction
- "De $A$ vers $B$" est un sens et "de $B$ vers $A$" est son sens opposé
Définition d'un vecteur
Un vecteur est un objet qui décrit la translation.
Il est définit par :
- une direction;
- un sens;
- une norme (ou longueur).
On le note $\vec{u}$ (ou $\overrightarrow{AB}$ si on dispose de 2 points A et B).
La norme du vecteur $\vec{u}$ est notée $\lVert \vec{u} \rVert$.
Si on reprend l'exemple précédant, le vecteur qui décrit la translation est le vecteur $\overrightarrow{FG}$.
On peut dire, par exemple, que $A'$ est l'image de $A$ par la translation de vecteur $\overrightarrow{FG}$.
Vecteurs égaux
On dit que deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont égaux s’ils ont :
- la même direction;
- le même sens;
- la même norme.
On note alors $\vec{u}$ = $\vec{v}$.
On dit également que $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont représentants d'un même vecteur.
Un vecteur admet une infinité de représentant.
- Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont égaux : en effet, ils ont la même direction (droites parallèles), le même sens, et sont de même longueur.
- Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{w}$ ne sont pas égaux : en effet, ils ont la même direction (droites parallèles), la même longueur, mais sont de sens opposé. On verra plus tard que les vecteurs sont opposés.
Règle du parallélogramme
Soient $A,B,C,D$ quatres points.
Le quadrilatère $ABCD$ est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ = $\overrightarrow{DC}$.
Il faut faire attention à l'ordre des points dans le parallélogramme : en effet, les parallélogrammes $ABCD$ et $ABDC$ ne donnent pas les mêmes égalités vectorielles !
Caractérisation du milieu d'un segment
Soient $A$ et $B$ deux points.
$I$ est milieu du segment $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}$
Vecteur particuliers
Si les points $A$ et $B$ sont confondus, alors le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est appelé vecteur nul. On le note $\vec{0}$.
On a alors : $\overrightarrow{AA} = \vec{0}$
On appelle vecteur opposé du vecteur $\vec{u}$ le vecteur ayant :
- la même direction que $\vec{u}$;
- la même longueur que $\vec{u}$;
- le sens opposé de $\vec{u}$;
On le note -$\vec{u}$.
Si on dispose de deux points $A$ et $B$, alors $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}$.
Somme de vecteurs
Somme de deux vecteurs
La somme des vecteurs $\vec u$ et $\vec v$, notée $\vec u + \vec v$, est le vecteur associé à la translation correspondant à l’enchaînement de la translation de vecteur $\vec u$ et de la translation de vecteur $\vec v$.
Le vecteur $\vec{w}=\overrightarrow{EE''}$ correspond à la somme du vecteur $\vec{u}$ et du vecteur $\vec{v}$.
En effet, le point $E''$ est obtenu par l'enchaînement de deux translations :
- $E'$ est l'image de $E$ par la translation de vecteur $\vec{u}$;
- $E''$ est l'image de $E'$ par la translation de vecteur $\vec{v}$;
On peut alors écrire : $\vec{w}=\vec{u} + \vec{v}$.
Soient $A$, $B$ et $I$ trois points.
$\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}$ si et seulement si $I$ est le milieu du segment $[AB]$.
La différence des vecteurs $\vec u$ et $\vec v$, notée $\vec u - \vec v$, est obtenue en effectuant la somme du vecteur $\vec u$ et du vecteur opposé à $\vec v$ (-$\vec v$).
Ici, on obtient $\vec{w}$ en effectuant la somme du vecteur $\vec{u}$ et du vecteur -$\vec{v}$. On peut alors écrire $\vec{w} = \vec{u} - \vec{v}$.
Relation de Chasles
Relation de Chasles
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points. On a :
$$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$$
Cette égalité vectorielle est appelée relation de Chasles.
Il est important de savoir utiliser la relation de Chasles dans les deux sens !
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points.
Posons $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BC}$
À l'aide de la relation de Chasles, on peut simplifier l'expression du vecteur $\overrightarrow{u}$ :
$$\begin{aligned}\overrightarrow{u}&=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BC}&&\\&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{BC}&&\text{(car }-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{CA}\text{)}\\&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}&&\text{(commutativité de l’addition)}\\&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}&&\text{(relation de Chasles)}\\&=\overrightarrow{0}&&\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\end{aligned}$$
Pour montrer qu'un quadrilatère est un parallélogramme à l'aide de la relation de Chasles et de la règle du parallélogramme, ça se passe juste ici !
Multiplication d'un vecteur par un réel
Définition
Soit $\vec{u}$ un vecteur et soit $k$ un réel non nul.
Le vecteur $k\vec{u}$ est un vecteur :
- de même direction que $\vec{u}$;
- de même sens que $\vec{u}$ si $k>0$, et de sens opposé si $k<0$.
- de norme : $\lVert \overrightarrow{ku} \rVert = |k|\times\lVert \vec{u} \rVert$
Ici, on a $\vec{v} = \dfrac{1}{4}\vec{u}$ et $\vec{w} = 2\vec{u}$.
La méthode pour construire un point à partir d'une égalité vectorielle est disponible juste ici !
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs et soient $k$ et $k'$ deux réels.
- $k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}$
- $(k + k')\vec{u} = k\vec{u} + k'\vec{u}$
- $k(k'\vec{u}) = (k \times k')\vec{u}$
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs. On a :
$$\begin{aligned}3(\vec{u}-\vec{v})-2(-2\vec{u}+4\vec{v})&=3\vec{u}-3\vec{v}+4\vec{u}-8\vec{v}\\&=7\vec{u}-11\vec{v}\end{aligned}$$
Vecteurs colinéaires
Soient $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs.
On dit que les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'il existe un réel non nul $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$.
Autrement dit, les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires s'ils ont la même direction.
Soient $A,B,C,D$ quatres points.
Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
Soient $A,B,C$ trois points.
Les points $A,B,C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
On considère un triangle $ABC$ et les points $D$ et $E$ tels que : $$\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\quad \text{et} \quad\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{AB}$$
Montrer que les points $A,D$ et $E$ sont alignés.
On a :
$$\begin{aligned}\overrightarrow{AD}&=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}\quad\text{(relation de Chasles)}\\&=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}\quad\text{(définition de }D\text{)}\\&=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)\quad\text{(relation de Chasles)}\\&=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\quad\text{(}\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\text{)}\\&=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\quad\text{(réduction)}\end{aligned}$$
et
$$\begin{aligned}\overrightarrow{AE}&=\overrightarrow{AC}+3\overrightarrow{AB}\quad\text{(définition de }E\text{)}\\&=6\left(\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}\right)\quad\text{(factorisation)}\end{aligned}$$
Ainsi, on obtient que $\overrightarrow{AE}=6\overrightarrow{AD}$, donc les vecteurs $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{AD}$ sont colinéaires, et donc les points $A,D$ et $E$ sont alignés.