Construire 3 points à partir d'égalités vectorielles
Reproduire la figure ci-dessous :
Construire les points $B,C,D$ à l'aide des égalités vectorielles suivantes :
$\overrightarrow{AB} = \vec u + 2\vec v$
$\overrightarrow{AC} = 2\vec u - 3\vec v$
$\overrightarrow{AD} = 3\vec u - \vec v$
Rappels de cours : somme de vecteurs, multiplication par un réel
La somme des vecteurs $\vec u$ et $\vec v$, notée $\vec u + \vec v$, est le vecteur associé à la translation correspondant à l’enchaînement de la translation de vecteur $\vec u$ et de la translation de vecteur $\vec v$.
Soit $\vec{u}$ un vecteur et soit $k$ un réel non nul.
Le vecteur $k\vec{u}$ est un vecteur :
- de même direction que $\vec{u}$;
- de même sens que $\vec{u}$ si $k>0$, et de sens opposé si $k<0$.
- de norme : $\lVert \overrightarrow{ku} \rVert = |k|\times\lVert \vec{u} \rVert$
Si tu as besoin d'un cours complet sur les vecteurs, n'hésite pas à aller voir sur cette page.
Explication de la méthode de construction
Pour construire les différents points, il suffit de suivre chaque vecteur : on compte le nombre de cases à monter ou à descendre, ainsi que le nombre de cases à avancer ou à reculer.
$\vec u$ : descendre de 3 cases et avancer de 3 cases ;
$\vec v$ : monter d’une case et avancer de 3 cases ;
$-\vec v$ : c’est l’opposé de $\vec v$, donc on inverse les déplacements : descendre d’une case et reculer de 3 cases ;
$2\vec u$ : on double chaque déplacement de $\vec u$ : descendre de 6 cases et avancer de 6 cases.
Maintenant que l’idée générale est bien comprise, on peut passer à la construction, en appliquant les bons mouvements depuis notre point de départ, qui correspond au point $A$ dans notre exercice.
On obtient alors la figure suivante :
On constate qu'on obtient un parallélogramme.
Pour savoir comment le démontrer, tu peux accéder à la méthode ici !