Énoncé
Soient $A,B,C,D$ quatre points.
Simplifier l'expression suivante en utilisant la relation de Chasles :
$$ \vec u = \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AD} $$
Rappel de cours sur la relation de Chasles
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points. On a :
$$ \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}$$
Cette égalité vectorielle est appelée relation de Chasles.
Le cours complet sur les vecteurs est disponible sur cette page !
Simplification de $\vec u$ en utilisant la relation de Chasles
On commence par réécrire le vecteur $\vec u$ en changeant tous les $-$ en $+$ en inversant l'ordre des lettres :
$$ \vec u = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{DA} $$
Puis on réordonne les vecteurs de manière à faire apparaître des relations de Chasles :
$$ \vec u = \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} $$
On peut désormais appliquer plusieurs relations de Chasles successivement :
$$ \vec u = \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} $$
$$ \vec u = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BC} $$
$$ \vec u = \overrightarrow{CC} $$
Ainsi, on obtient que $\vec u = \overrightarrow{0}$.